第二部分：含有单项式因子的二项式或多项式

第1步：观察题目。

a²+b²叫做a、b的平方和。 在有理式中，这个式子已经是简单了， 无法进行化简。 如果具体数据计算，还可以进行下去。

如果表达式的一部分是单项式，而另一部分是二项式或多项式，那么就需要你判断能否通过在分子和分母中同除一个单项式来进行化简。

在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。

例:

(3x)/(3x + 6x2)

第2步：提取公因式。

如果式子中的每一项都含有一个相同的变量，那么这个变量就可以看作是这个式子的一个因子。

只有当式子中的每一项都含有该变量时这个做法才是对的： x/x3 – x2 + x = (x)(x2 – x + 1)

如果式子中有一项不含这个变量，就不能提取公因式： x/x2 + 1

例:

x/(x + x2) = [(x)(1)] / [(x)(1 + x)]

第3步：将常数项的公因子也提取出来。

如果代数式中的所有常数项含有公因数，那么就将分子和分母中的每一项都除以这个公因数。

如果有一个常数项能够被其他所有项整除，那么这一项就是所有项的最大公因数: 2 / (2 + 4) = 2 * [1 / (1 + 2)]

只有当式子中的所有项都含有这个公因数时，这样的作法才是正确的: 9 / (6 – 12) = 3 * [3 / (2 – 4)]

如果其中有不含这个公因数的项，那就不能化简。: 5 / (7 + 3)

例:

3/(3 + 6) = [(3)(1)] / [(3)(1 + 2)]

第4步：提出公因式。

将化简过后的变量和常数项重新组合在一起，写出公因式的形式。将分子和分母同时提出这个公因式，留下不能再被进一步化简的部分。

例:

(3x)/(3x + 6x2) = [(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)]

第5步：写出最后的答案。

将提取出的公因式约掉得到的就是化简好的有理式。

例:

[(3x)(1)] / [(3x)(1 + x)] = 1/(1 + x)

第三部分：含有二项式因子的二项式或多项式

第1步：观察题目。

a²+b²叫做a、b的平方和。 在有理式中，这个式子已经是简单了， 无法进行化简。 如果具体数据计算，还可以进行下去。

如果有理式中不包含单项式因子，那么就需要从分子和分母中分解出二项式因子。

在本文中，“单”代表“一个”，“二”代表两个，“多”代表“两个以上”。

例:

(x2 - 4) / (x2 - 2x - 8)

第2步：将分子分解成二项式相乘的形式。

因式分解时你必须要决定可能的关于x的分解形式。

例:

(x2 – 4) = (x - 2) * (x + 2)

为了求出关于x的解，我们需要把关于x的项放到等式一边，常数项放到等式另外一边: x2 = 4

两边开根号，将x化为一次项。: √x2 = √4

注意任何一个数开平方根都可以得到一个正根和一个负根，因此，x的解为: -2, +2

根据上面得到的结果，我们可以将(x2 – 4)

进行因式分解化为: (x - 2) * (x + 2)

通过将分解好的多项式乘回去可以检查分解的结果正确与否。如果你对结果的正确性没有自信的话，就把多项式乘回去，看看是不是和原来的式子一致。

例:

(x - 2) * (x + 2) = x2 + 2x - 2x – 4 = x2 – 4

第3步：同样将分母也分解为二项式相乘的形式。

同样你需要求出这个等式中x的解。

例:

(x2 - 2x – 8) = (x + 2) * (x – 4)

为了求解x，我们将常数项放到等式一边，含x的项放在等式另一端。: x2 ? 2x = 8

将x的一次项系数除二，然后再两端加上配方所需的常数: x2 ? 2x + 1 = 8 + 1

将等式化简为完全平方式的形式: (x ? 1)2 = 9

两边同时开根号: x ? 1 = ±√9

求得x的解: x = 1 ±√9

对于二次多项式来说，x有两个可能的解。

x = 1 - 3 = -2

x = 1 + 3 = 4

因此, (x2 - 2x – 8)

可以被分解为 (x + 2) * (x – 4)

将分解后得到的式子乘回去进行检查。如果你对得到的答案没有把握的话，就把分解后的式子乘回去，看看能不能得到原来的表达式。

例:

(x + 2) * (x – 4) = x2 – 4x + 2x – 8 = x2 - 2x - 8

第4步：约掉公因式。

找到分子和分母之间的公因式，将公因式提取出来，留下不含公因式的有理式。

例:

[(x - 2)(x + 2)] / [(x + 2)(x – 4)] = (x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)]

第5步：写出答案。

将公因式约掉后就可以得到化简后的答案。

例:

(x + 2) * [(x – 2) / (x – 4)] = (x – 2) / (x – 4)

你需要准备

计算器

铅笔

纸

参考

http://daphne.palomar.edu/mmumford/50/notes/Chap9.pdf

http://www.purplemath.com/modules/rtnldefs2.htm

http://www.mathportal.org/calculators/solving-equations/quadratic-equation-solver.php

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx#Pre_RatExp_Ex1_a

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分式的定义：

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。

注：

（1）分式的分母中必须含有字母；

（2）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义。

分式的概念包括3个方面：

①分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号的作用；

②分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据；

③在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。这里，分母是指除式而言。而不是只就分母中某一个字母来说的。也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。

分式有意义的条件：

（1）分式有意义条件：分母不为0；

（2）分式无意义条件：分母为0；

（3）分式值为0条件：分子为0且分母不为0；

（4）分式值为正(负)数条件：分子分母同号时，分式值为正；分子分母异号时，分式值为负 。

分式的区别概念：

分式与分数的区别与联系：

a.分式与分数在形式上是一致的，都有一条分数线，相当于除法的“÷”，都有分子和分母，都可以表示成（B≠0）的形式；

b.分式中含有字母，由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况。

整式和分式统称为有理式。

带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式。

无限不循环小数也是无理式

无理式和有理式统称代数式

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